集合$A$に、次のような条件（順序の公理と呼ばれる）を満たす二項関係$\le$が定まっている時、対$(A,\le)$のことを半順序集合（partially ordered set）という。

1. 反射律：　　任意の元$a$について$a\le a$
2. 推移律：　　$a\le b$かつ$b\le c$ならば$a\le c$　←要するに、三竦みが無いってこと！
3. 反対称律：　$a\le b$かつ$b\le a$ならば$a=b$

　順序集合$(A,\le)$が更に次の条件を満たすとき、$(A,\le)$のことを全順序集合（totally ordered set）という。

4. 完全律：　　$A$の任意の元$a,\ b$について$a\le b$か$b\le a$のどちらかが成り立つ

ハッセ線図（Hasse diagram）

上限、下限、その他

順序集合の空でない部分集合$A$について... 上界（upper bound） $A$の任意の元$a$に対して$a\le b$が成り立つような$b$のなす集合 上界が空でないとき、集合$A$は上に有界であるという。 下界（lower bound） $A$の任意の元$a$に対して$b\le a$が成り立つような$b$のなす集合 下界が空でないとき、集合$A$は下に有界であるという。 有界（bounded） 上にも下にも有界なとき、集合$A$は有界であるという。 極大元（maximal element） $A$のある元$s$に対して、$s\le a$となる$A$の元$a$が常に$s=a$となるときの$s$ 極小元（minimal element） $A$のある元$s$に対して、$a\le s$となる$A$の元$a$が常に$s=a$となるときの$s$ 最大元（maximum element） $A$のある元$m$が任意の$A$の元$a$に対して$a\le m$を満たすときの$m$ 最小元（minimum element） $A$のある元$m$が任意の$A$の元$a$に対して$m\le a$を満たすときの$m$

　最大元や最小元は高々一つしかない。 最大元は極大元になるが、この逆は正しくない。

• 上限（最小上界）（least upper bound, supremum）
  上界の最小元のこと。$\sup(A)$と書く。
• 下限（最大下界）（greatest lower bound, infimum）
  下界の最大元のこと。$\inf(A)$と書く。

　$A$が最大元$M$を持てば、$M$は$A$の上限になる。 また、$A$が最小元$m$を持てば、$m$は$A$の下限になる。